Medir la Tierra – Actividad astronómica para toda la familia.

Hoy plantearemos una actividad al aire libre para toda la familia. Vamos a medir la Tierra tal y como hizo Eratóstenes hace más de 2000 años. En esta actividad pondremos en práctica la teoría que hemos visto en las entradas previas sobre Píldoras de Astronomía, la de los movimientos de la Tierra y la de las Coordenadas Astronómicas. Recomiendo leerlas antes de continuar o, al menos, antes de realizar la actividad.

Eratóstenes midió la Tierra, un poco de Historia:

El método que utilizaremos fue inventado y utilizado por primera vez para calcular el radio de la Tierra por Eratóstenes de Cirene. Todos lo recordaréis por la famosa “Criba de Eratóstenes” para encontrar los números primos menores a uno dado. Eratóstenes estuvo al cargo de la Biblioteca de Alejandría desde el año 236 a.C. y descubrió una curiosidad en un papiro: Un dato que afirmaba que en la ciudad de Siena (actual Asuán, Egipto) el día del solsticio de verano, al mediodía, los objetos verticales no proyectaban sombra alguna y la luz del Sol alumbraba el fondo de los pozos. Eso significaba que el Sol se encontraba en el cénit, o lo que es lo mismo, que Siena se encontraba sobre el paralelo del Trópico de Cáncer. Tomando esa referencia, midió la sombra que se proyectaba en Alejandría el mismo día. Comprobó que, en el mismo momento, los rayos del Sol incidían con distinto ángulo en las dos ciudades. Conociendo la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades y mediante un cálculo trigonométrico, calculó con gran aproximación el radio de la Tierra.

Esquema de rayos incidiendo en la superficie de la esfera y el ángulo con la normal en dos puntos distintos.

La eclíptica:

La Tierra gira alrededor del Sol dando una vuelta al año y al mismo tiempo, sobre sí misma dando una vuelta al día. El eje de rotación de la Tierra no es perpendicular al plano de la órbita (llamado plano de la eclíptica), por lo que vemos al Sol moverse en el cielo trazando arcos de distinta altura cada día.

Llamamos eclíptica a la intersección del plano de la eclíptica con el plano del ecuador terrestre. Hay 4 días al año en los que conocemos la distancia angular entre el Sol y la eclíptica sin hacer cálculos: En los equinoccios 0º y en los solsticios -23.45º (en el de invierno) y +23.45º (en el de verano). El resto de los días, esa distancia, llamada declinación solar, se puede encontrar tabulada en los anuarios de astronomía. Nosotros lo haremos para el día del solsticio de verano en el hemisferio Norte, que se produce entre los días 20 y 22 de junio. Concretamente, en este 2018, se producirá el 21 de junio.

Latitud:

La latitud es la coordenada de posición vertical dada por el ángulo formado por el vértice en el centro de la Tierra, el ecuador y el lugar de observación. De modo que en el ecuador la latitud es 0º, en el Polo Norte 90º y en el Polo Sur -90º.

Sea h la altura de la eclíptica sobre el horizonte en dirección Sur, podemos calcular la latitud como: Ø = 90º – h.

Como sabemos que el día del solsticio el Sol estará 23.45 grados por encima de la línea de la eclíptica, sea hS la altura del Sol a mediodía en dirección Sur: Ø = 90º + 23.45º – hS = 113.45º – hS.

Calcular el perímetro terrestre:

Conocidas las latitudes de dos ciudades con la misma longitud y la distancia que las separa, podemos hacer una regla de tres para calcular el perímetro terrestre. La diferencia de sus latitudes es un ángulo al que corresponde la distancia que las separa. Al ángulo de toda la circunferencia (360º) corresponderá el perímetro de la Tierra.

Para nuestro caso, tomaremos los valores de dos ciudades ubicadas más o menos en la misma longitud en la que nos encontramos (zona Este peninsular): París (Francia) y Lagos (Nigeria). Los puntos escogidos son la Torre Eiffel en París y el Yaba College of Technology de Lagos. Tomaremos los siguientes datos, que equivalen a lo que Eratóstenes encontró en el papiro y las distancias que le transmitieron los comerciantes.

Torre Eiffel:
Latitud: 48.858279 = 48º 51’ 29.80’’.
Distancia: 766,10 km.
Yaba College of Technology:
Latitud: 6,518808 = 6º 31’ 7.71’’.
Distancia: 3943,27 km.

Preparación:

Buscaremos un lugar lo más horizontal posible: una plaza, un patio… cuanto más horizontal sea, más preciso será el resultado de nuestra medición. Ubicaremos un palo en vertical. Podemos usar sofisticados sistemas, trípodes, etc. O podemos usar un poco de plastilina y un lápiz, o un recogedor del polvo que veamos que se aguante de pie en la posición más vertical posible. En cualquier caso, mediremos la altura de ese palo e iremos haciendo marcas del punto en el que se proyecta la sombra del extremo de dicho palo. Obtendremos una parábola (o en los equinoccios, una recta) y el vértice de la parábola, la sombra más corta, la obtendremos sobre la línea Norte – Sur. Esa es la medida a la que llamaremos Longitud de la sombra.

Veamos ahora los cálculos que efectuaremos, dadas esas dos medidas: altura del palo y longitud de la sombra.

Nuestros cálculos:

Altura palo: p =
Longitud sombra: s =

Altura máxima del Sol = a = arc.tang(s/p) =
Altura de la eclíptica: h = a – δ = a + 23.45º =
Latitud: Ø = 90 – h =

Ángulo con París: α = 48,858279 – Ø =
Perímetro terrestre1 = 766,10 × 360 / α =

Ángulo con Lagos: β = Ø – 6,518808 =
Perímetro terrestre2 = 3943,27 × 360 / β =

Cálculo del error cometido:

El perímetro terrestre medio tiene un valor de: 2 π 6371,0 km = 40.030,17 km. Sin embargo, es un valor ideal, que no se corresponde con el valor real, ya que la Tierra tiene forma de elipsoide y no de esfera.

Podemos calcular la media de los dos perímetros calculados, obteniendo un valor: M = (Perímetro terrestre1 + Perímetro terrestre2) / 2 =

Error absoluto: Ea = M – 40030,17 km =

Error relativo: Er = Ea / 40030,17 =

¿Qué os ha parecido esta actividad? ¿Os animaréis a ponerla en práctica? Si lo hacéis, compartid vuestra experiencia y, aunque es menos importante, vuestro resultado!

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